第53章 灵感
这种时刻刘浩然见过很多次，数学家面对难题时的那种执拗，那种不解决问题誓不罢休的劲头。
他没再劝，只是又热了一杯牛奶放在了肖宿桌上。
凌晨一点，肖宿突然放下粉笔，走到窗前。
窗外是寂静的校园，只有路灯还孤独地亮著。
他盯著黑暗中的某一点，眼神空洞，像是在看很远的地方。
刘浩然知道，这是肖宿在“放空”。
当思考进入死胡同时，他会暂时跳出数学的世界，让潜意识去工作。
时间一分一秒过去。
办公室里的钟表滴答声格外清晰。
凌晨两点十七分，肖宿突然转过身，眼睛里闪著光。
“我明白了。”
“明白什么？”
“我们一直在用错误的范式思考。”
肖宿走回白板前，语速快而清晰。
“现有的隨机微分方程数值解法，都是基於『离散化时间，逐步推进』的思路。但在流形上，这种思路天然受限，因为每一步推进都要保证不离开流形。”
他擦掉白板上一半的內容，开始重新书写：
“正確的思路应该是：不是离散化时间，而是离散化路径空间。”
“什么？”刘浩然没听懂。
“考虑从初始点到终点的所有可能路径组成的空间，这叫做路径空间。”
肖宿边写边解释，“在流形上，路径空间本身也是一个无穷维流形。我们要找的解，就是这个无穷维流形上的一个点。”
他在白板上画了两个示意图。
第一个是传统的思路，一条曲线，被切成许多小段，每段用直线近似。
第二个是他提出的新思路，一个空间，里面有很多条曲线，其中一条被特別標出。
“传统方法是在近似那条曲线，”肖宿指著第一个图，“而我的想法是，直接在路径空间里搜索那条曲线。”
他继续写公式，动作流畅得像是已经演练过无数遍：
“路径空间m上的泛函s[γ]=∫l(γ,γ)dt，其中l是拉格朗日量。我们要找的是使得s取极值的路径，这就是变分原理。”
“但路径空间是无穷维的，如何搜索？”
刘浩然问出了关键问题。
“用蒙特卡洛方法。”
肖宿说，“但不是传统的蒙特卡洛，而是在路径空间上的蒙特卡洛，也就是路径积分蒙特卡洛。”
他在白板上写下一串新的公式：
“构造一个马尔可夫链，状態空间是m，平稳分布是exp(-βs[γ])/z。当β→∞时，这个分布集中在s的最小值点附近。通过模擬这个马尔可夫链，我们就能以高概率找到最优路径。”
刘浩然盯著那些公式，脑子里嗡嗡作响。
这个想法太大胆了，把量子力学中的路径积分方法，搬到隨机微分方程的数值求解中。
但仔细想想，却又出奇地自然。
路径积分本来就是处理无穷维空间问题的利器，而隨机微分方程的解恰恰就是一条路径。
“这……这能实现吗？”
他声音有些发颤。
“能。”
肖宿肯定地说，“只需要设计合適的提议分布和接受概率，保证马尔可夫链在流形上转移。技术细节很多，但原则上没有障碍。”
他开始详细推导。
白板上的公式像泉水一样涌出，一个接一个，逻辑严密，环环相扣。
刘浩然看著，感觉自己不是在见证一个想法的诞生，而是在见证一座数学建筑的落成，从地基到框架，从结构到装饰，每一个部分都精確而优美。
凌晨四点，推导完成。
肖宿放下粉笔，退后一步，审视整个白板。
从左到右，从上到下，从问题的提出到最终的算法设计，完整而自洽。
那些曾经困扰他两周的障碍，此刻都变成了通往终点的阶梯。
他长舒一口气，闭上眼睛。
刘浩然能看到他脸上的疲惫，但更明显的是那种解决问题后的满足感，纯粹的，不掺杂任何杂质的满足。
“完成了？”刘浩然轻声问。
“完成了。”肖宿睁开眼睛，眼神清澈，“理论框架已经完整。剩下的就是实现和测试。”
窗外，天色已经开始泛白。
新的一天即將开始。
他没再劝，只是又热了一杯牛奶放在了肖宿桌上。
凌晨一点，肖宿突然放下粉笔，走到窗前。
窗外是寂静的校园，只有路灯还孤独地亮著。
他盯著黑暗中的某一点，眼神空洞，像是在看很远的地方。
刘浩然知道，这是肖宿在“放空”。
当思考进入死胡同时，他会暂时跳出数学的世界，让潜意识去工作。
时间一分一秒过去。
办公室里的钟表滴答声格外清晰。
凌晨两点十七分，肖宿突然转过身，眼睛里闪著光。
“我明白了。”
“明白什么？”
“我们一直在用错误的范式思考。”
肖宿走回白板前，语速快而清晰。
“现有的隨机微分方程数值解法，都是基於『离散化时间，逐步推进』的思路。但在流形上，这种思路天然受限，因为每一步推进都要保证不离开流形。”
他擦掉白板上一半的內容，开始重新书写：
“正確的思路应该是：不是离散化时间，而是离散化路径空间。”
“什么？”刘浩然没听懂。
“考虑从初始点到终点的所有可能路径组成的空间，这叫做路径空间。”
肖宿边写边解释，“在流形上，路径空间本身也是一个无穷维流形。我们要找的解，就是这个无穷维流形上的一个点。”
他在白板上画了两个示意图。
第一个是传统的思路，一条曲线，被切成许多小段，每段用直线近似。
第二个是他提出的新思路，一个空间，里面有很多条曲线，其中一条被特別標出。
“传统方法是在近似那条曲线，”肖宿指著第一个图，“而我的想法是，直接在路径空间里搜索那条曲线。”
他继续写公式，动作流畅得像是已经演练过无数遍：
“路径空间m上的泛函s[γ]=∫l(γ,γ)dt，其中l是拉格朗日量。我们要找的是使得s取极值的路径，这就是变分原理。”
“但路径空间是无穷维的，如何搜索？”
刘浩然问出了关键问题。
“用蒙特卡洛方法。”
肖宿说，“但不是传统的蒙特卡洛，而是在路径空间上的蒙特卡洛，也就是路径积分蒙特卡洛。”
他在白板上写下一串新的公式：
“构造一个马尔可夫链，状態空间是m，平稳分布是exp(-βs[γ])/z。当β→∞时，这个分布集中在s的最小值点附近。通过模擬这个马尔可夫链，我们就能以高概率找到最优路径。”
刘浩然盯著那些公式，脑子里嗡嗡作响。
这个想法太大胆了，把量子力学中的路径积分方法，搬到隨机微分方程的数值求解中。
但仔细想想，却又出奇地自然。
路径积分本来就是处理无穷维空间问题的利器，而隨机微分方程的解恰恰就是一条路径。
“这……这能实现吗？”
他声音有些发颤。
“能。”
肖宿肯定地说，“只需要设计合適的提议分布和接受概率，保证马尔可夫链在流形上转移。技术细节很多，但原则上没有障碍。”
他开始详细推导。
白板上的公式像泉水一样涌出，一个接一个，逻辑严密，环环相扣。
刘浩然看著，感觉自己不是在见证一个想法的诞生，而是在见证一座数学建筑的落成，从地基到框架，从结构到装饰，每一个部分都精確而优美。
凌晨四点，推导完成。
肖宿放下粉笔，退后一步，审视整个白板。
从左到右，从上到下，从问题的提出到最终的算法设计，完整而自洽。
那些曾经困扰他两周的障碍，此刻都变成了通往终点的阶梯。
他长舒一口气，闭上眼睛。
刘浩然能看到他脸上的疲惫，但更明显的是那种解决问题后的满足感，纯粹的，不掺杂任何杂质的满足。
“完成了？”刘浩然轻声问。
“完成了。”肖宿睁开眼睛，眼神清澈，“理论框架已经完整。剩下的就是实现和测试。”
窗外，天色已经开始泛白。
新的一天即將开始。