第64章 顿悟
“走，边走边说。”
陈末走出教室后，周知开口说道，同时率先迈步往行政楼走去，他到现在都还没有弄明白到底发生了什么，有些好奇的问道，“这次省赛的题你都做完了吗？”
“做完了。”
陈末点头。
“你觉得题目难度怎么样？”
“挺难的！”
陈末如实回答。
周知却不知道该说些什么，既然挺难的，那你还提前交卷？
“如果消息没错的话，你这次应该拿了省一。”
时间紧迫，周知儘量挑重点说，“这次蓉城数学会的会长，还有两个燕北大学数学系的教授过来找你，你到时候好好表现，说不定能有保送到燕北大学的希望。”
对於一中的学生来说，燕北大学就是只存在於传说中的地方，他们就算是做梦也都没有这种想法。
所以哪怕只有很小的可能，周知也希望陈末能够抓住。
陈末点头，却没有太过在意，他有信心，无论是走竞赛还是通过高考，上燕北都不难。
……
“不错，不错，基础还是很扎实的。”
会议室中，赵一鸣点头。
白芷刚才讲解了自己做第三题第一小问的思路，虽然第二问和第三问没有做出来，但对於一个高中生来说，已经算是很不错了。
这时，陈末和周知两人走进会议室。
千呼万唤始出来，
郑明阳看向这个面庞稚嫩的小傢伙，却从他脸上看到了一丝与年纪不符的沉稳。
“我是燕北大学数学系教授郑明阳。”
郑明阳起身，自我介绍到，“陈末同学，你在竞赛中证明第三道大题的第三小问时，写出的这个恆等式∑_k=1^{q}x(k)e^{πik/q}=√q?e(x)，我对这个恆等式很感兴趣，你能告诉我，你是怎么想到的？它是否总是成立？”
说著郑明阳已经来到会议室的白板旁，拿著马克笔把恆等式写了下来。
陈末看了看，有些不好意思地说：“郑教授，其实我当时只是为了简化计算，並没有严格证明。”
郑明阳有些失望，但他原本也没指望陈末真的能给出证明，“所以你当时是怎么想到这个恆等式的呢？”
“我在推导第三问的过程中，感觉常规的证法太过繁琐，所以就想，有没有一种更简洁的证明方法，然后这个等式就出现在了我脑海中。”
陈末如实说道，当时他在【头脑清晰】的加持下，那种状態，即便是现在的他也无法復现。
“哦。”
郑明阳並没有怀疑，数学有时候的確是这样，需要那一闪而逝的灵光。
但灵光註定只是灵光，没办法落地成为一个定理、公式。
任何一个定理、公式都需要严谨的证明。
可惜。
赵一鸣也有些失望，原本以为这一躺能有所收穫，没想到竟然是这样的结局。
不过他早就应该想到的，一个高中生，怎么可能完成这种证明，完成这个连钻研这个领域几十年的老教授都解决不了的问道。
是他们一开始就太过异想天开了。
看到这里，一中一眾领导终於有些回过味来，感情这两位燕北大学教授不是过来谈保送的，是过来问陈末问题的。
张虎转头看向周知，眼神中带著询问。
天可怜见，他也是理工科毕业的，但那个黑板上的公式，他是一点都看不懂。
周知也有些茫然，他大概能看懂陈末和郑明阳在討论什么。
可是，他不懂的是，一个燕北大学的教授，千里迢迢的跑过来，就是为了向一个高中生求教问题？
这合理吗?
“但我感觉它应该成立，因为……嗯……我验证了几个小的情况。”
陈末看著白板上的等式，忽然开口说道。
不知道为什么，他脑海中闪过第一次加入数竞队时最后那道大题，他当时也是有一些灵感，如果不是白芷询问，他最后可能也不会写出完整的解答过程，他最后或许都不会知道，那个方法是对的。
“所以，我或许可以尝试著证明它！”
陈末忽然对这个恆等式生出了浓烈的兴趣。
“验证了哪几个？”郑明阳也在一旁追问。
陈末来到白板前，拿起马克笔，在白板上写写画画起来，“比如q=4，取x为模4的非主特徵x(1)=1，x(3)=?1，那么左边等於1?e^{πi/4}+(?1)?e^{3πi/4}=e^{πi/4}?e^{3πi/4}。
e^{πi/4}=√2/2+(i√2)/2，e^{3\pi i/4}=?√2/2+(i√2)/2，相减得√2，右边√4=2，所以e(x)=√2/2，模长確实为1。”
“那q=5呢？”
郑明阳点头，这几天他也在尝试证明这个恆等式，自然进行过类似的验证，知道陈末没有算错。
陈末皱起眉头，想了想，“模5的非主特徵有四种，但如果是勒让德符號x(k)=(k/5)，那么左边是∑_k=1^{4}(k/5)e^{πik/5}，这个值我也算过，是√5，所以e(x)=1。”
郑明阳皱眉：“所以你只验证了二次特徵？其他特徵呢？比如模5的非二次特徵？”
陈末愣了一下，然后说：“啊，非二次特徵？我没验证过，但我感觉，这个恆等式可能只对实特徵成立，在考试的时候，我用的正好是实特徵的情况，因为莫比乌斯函数和欧拉函数的组合只会引出实特徵。”
郑明阳却眼前一亮：“继续说。”
陈末继续在白板上写到，“我们重新审视这个恆等式，设x是模q的实特徵，即x(k)=±1，且x(?1)=1或?1，那么x实际上是一个二次特徵，与某个二次域相关……”
“所以考虑高斯和……”
陈末不断在白板上写下一串串公式，仿佛这里不是会议室，而是他的自习室，眼前的白板也不是白板，而是他的草稿纸。
他已经彻底沉浸在了这个证明之中。
白板有限，很快，就已经写满了陈末的公式，然后他拿起擦子，擦掉刚才写下的公式，又开始写下新的公式。
张虎正准备开口，却被郑明阳阻止，郑明阳对张虎摇摇头，示意他不要打扰陈末。
他知道此时陈末的状態可遇不可求。
用中国的古话来说，可以称之为顿悟！
陈末走出教室后，周知开口说道，同时率先迈步往行政楼走去，他到现在都还没有弄明白到底发生了什么，有些好奇的问道，“这次省赛的题你都做完了吗？”
“做完了。”
陈末点头。
“你觉得题目难度怎么样？”
“挺难的！”
陈末如实回答。
周知却不知道该说些什么，既然挺难的，那你还提前交卷？
“如果消息没错的话，你这次应该拿了省一。”
时间紧迫，周知儘量挑重点说，“这次蓉城数学会的会长，还有两个燕北大学数学系的教授过来找你，你到时候好好表现，说不定能有保送到燕北大学的希望。”
对於一中的学生来说，燕北大学就是只存在於传说中的地方，他们就算是做梦也都没有这种想法。
所以哪怕只有很小的可能，周知也希望陈末能够抓住。
陈末点头，却没有太过在意，他有信心，无论是走竞赛还是通过高考，上燕北都不难。
……
“不错，不错，基础还是很扎实的。”
会议室中，赵一鸣点头。
白芷刚才讲解了自己做第三题第一小问的思路，虽然第二问和第三问没有做出来，但对於一个高中生来说，已经算是很不错了。
这时，陈末和周知两人走进会议室。
千呼万唤始出来，
郑明阳看向这个面庞稚嫩的小傢伙，却从他脸上看到了一丝与年纪不符的沉稳。
“我是燕北大学数学系教授郑明阳。”
郑明阳起身，自我介绍到，“陈末同学，你在竞赛中证明第三道大题的第三小问时，写出的这个恆等式∑_k=1^{q}x(k)e^{πik/q}=√q?e(x)，我对这个恆等式很感兴趣，你能告诉我，你是怎么想到的？它是否总是成立？”
说著郑明阳已经来到会议室的白板旁，拿著马克笔把恆等式写了下来。
陈末看了看，有些不好意思地说：“郑教授，其实我当时只是为了简化计算，並没有严格证明。”
郑明阳有些失望，但他原本也没指望陈末真的能给出证明，“所以你当时是怎么想到这个恆等式的呢？”
“我在推导第三问的过程中，感觉常规的证法太过繁琐，所以就想，有没有一种更简洁的证明方法，然后这个等式就出现在了我脑海中。”
陈末如实说道，当时他在【头脑清晰】的加持下，那种状態，即便是现在的他也无法復现。
“哦。”
郑明阳並没有怀疑，数学有时候的確是这样，需要那一闪而逝的灵光。
但灵光註定只是灵光，没办法落地成为一个定理、公式。
任何一个定理、公式都需要严谨的证明。
可惜。
赵一鸣也有些失望，原本以为这一躺能有所收穫，没想到竟然是这样的结局。
不过他早就应该想到的，一个高中生，怎么可能完成这种证明，完成这个连钻研这个领域几十年的老教授都解决不了的问道。
是他们一开始就太过异想天开了。
看到这里，一中一眾领导终於有些回过味来，感情这两位燕北大学教授不是过来谈保送的，是过来问陈末问题的。
张虎转头看向周知，眼神中带著询问。
天可怜见，他也是理工科毕业的，但那个黑板上的公式，他是一点都看不懂。
周知也有些茫然，他大概能看懂陈末和郑明阳在討论什么。
可是，他不懂的是，一个燕北大学的教授，千里迢迢的跑过来，就是为了向一个高中生求教问题？
这合理吗?
“但我感觉它应该成立，因为……嗯……我验证了几个小的情况。”
陈末看著白板上的等式，忽然开口说道。
不知道为什么，他脑海中闪过第一次加入数竞队时最后那道大题，他当时也是有一些灵感，如果不是白芷询问，他最后可能也不会写出完整的解答过程，他最后或许都不会知道，那个方法是对的。
“所以，我或许可以尝试著证明它！”
陈末忽然对这个恆等式生出了浓烈的兴趣。
“验证了哪几个？”郑明阳也在一旁追问。
陈末来到白板前，拿起马克笔，在白板上写写画画起来，“比如q=4，取x为模4的非主特徵x(1)=1，x(3)=?1，那么左边等於1?e^{πi/4}+(?1)?e^{3πi/4}=e^{πi/4}?e^{3πi/4}。
e^{πi/4}=√2/2+(i√2)/2，e^{3\pi i/4}=?√2/2+(i√2)/2，相减得√2，右边√4=2，所以e(x)=√2/2，模长確实为1。”
“那q=5呢？”
郑明阳点头，这几天他也在尝试证明这个恆等式，自然进行过类似的验证，知道陈末没有算错。
陈末皱起眉头，想了想，“模5的非主特徵有四种，但如果是勒让德符號x(k)=(k/5)，那么左边是∑_k=1^{4}(k/5)e^{πik/5}，这个值我也算过，是√5，所以e(x)=1。”
郑明阳皱眉：“所以你只验证了二次特徵？其他特徵呢？比如模5的非二次特徵？”
陈末愣了一下，然后说：“啊，非二次特徵？我没验证过，但我感觉，这个恆等式可能只对实特徵成立，在考试的时候，我用的正好是实特徵的情况，因为莫比乌斯函数和欧拉函数的组合只会引出实特徵。”
郑明阳却眼前一亮：“继续说。”
陈末继续在白板上写到，“我们重新审视这个恆等式，设x是模q的实特徵，即x(k)=±1，且x(?1)=1或?1，那么x实际上是一个二次特徵，与某个二次域相关……”
“所以考虑高斯和……”
陈末不断在白板上写下一串串公式，仿佛这里不是会议室，而是他的自习室，眼前的白板也不是白板，而是他的草稿纸。
他已经彻底沉浸在了这个证明之中。
白板有限，很快，就已经写满了陈末的公式，然后他拿起擦子，擦掉刚才写下的公式，又开始写下新的公式。
张虎正准备开口，却被郑明阳阻止，郑明阳对张虎摇摇头，示意他不要打扰陈末。
他知道此时陈末的状態可遇不可求。
用中国的古话来说，可以称之为顿悟！