第339章 学术交流
飞机落地燕京的时候是上午十点。赵阳和王文渊教授在出站口等他。德利涅推著登机箱走出来，他比上次在国际数学家大会上见到的时候瘦了一些，头髮也白了不少，但那双眼睛还是跟以前一样锐利。
“德利涅教授，欢迎来燕京。”
王文渊迎上去握住了他的手。
“王教授，赵博士。”德利涅跟两人分別握了手，然后看向赵阳。
“我老师这几天一直在等你。他把我当年跟他的通信都翻了出来，说里面有几段关於概形论在计算机科学中应用的討论，跟你论文的思路不谋而合。”
赵阳点了点头。他让王海把车开到航站楼门口，三人上了车，直接去燕大。路上德利涅把格罗滕迪克最近的身体情况简单说了一下肺癌，发现的时候已经扩散了，目前的治疗以控制疼痛为主，医生给出的时间窗口不会太长。
到了燕大，王文渊安排了一间安静的会议室。德利涅把隨身带的资料摊在桌上厚厚一沓草稿纸，上面是格罗滕迪克特有的那种倾斜的笔跡，有些地方画了交换图，有些地方用红笔圈了好几层。
赵阳翻了几页，看到其中一个关於有限域上多项式理想维数估计的引理推导，跟他自己在附录里提出的子问题几乎完全重合。
“老师在这条路上走了很多年。”
德利涅指著其中一处標註。
“他说你那个布尔函数到代数簇的映射构造，是他这辈子见过最漂亮的代数化方案。但他觉得你在处理正特徵域的时候可以借鑑他在六十年代做的几个关於概形平坦性的工作。那边的几个引理跟你现在遇到的障碍有关。”
赵阳翻到德利涅指的那一页，上面的交换图画得很复杂，但核心逻辑跟他在思考有限域推广问题时隱约触碰过的某个方向是相通的。
他之前一直觉得概形平坦性在处理逻辑门的多项式表示时过於繁琐，不愿意在这上面花太多篇幅。但格罗滕迪克的草稿清楚地告诉他，这不是繁琐，而是非常有必要的！
第二天上午，皮埃尔从巴黎拨通了视频电话。他提前在病房里布置了摄像机，让画面儘量稳定。
信號接通的那一刻，大屏幕上出现了格罗滕迪克的病房。他半躺在病床上，背后垫著几个枕头，头髮已经几乎全白了，但那双眼睛透过老花镜看过来的时候依然有一种深邃的智慧。
“格罗滕迪克教授。”
赵阳微微往前坐了一点。
“您对概形平坦性的理解，我看了您给德利涅教授的几个引理。您在处理正特徵域上多项式理想的消元问题时，是不是用到了余维数大於等於二的子簇上正规锥的构造？”
格罗滕迪克听到这个问题，嘴角动了一下。面上带著一丝微笑，把老花镜往鼻樑上推了推，身体稍微往上坐了一点。
“你对布尔函数代数化的处理，我已经拆解过了。你用希尔伯特零点定理来保证理想生成严格性，这对特徵为零的代数闭域完全成立。但想要推广到正特徵域上，你缺少一个关键的步骤。正特徵域上加法不是单射，多项式表示会退化。你需要在表示逻辑门之前，先对基底做一次概形的平坦化处理。”
赵阳迅速把格罗滕迪克说的几个要点在脑海里过了一遍。他想起自己在处理有限域推广时遇到的那个具体障碍代数闭域上的消元定理在特徵为正的有限域上不適用，当时他尝试了几种绕道方案都没走通。格罗滕迪克提到的概形平坦化处理，正好对应了那个障碍的核心。
“具体怎么平坦化？”赵阳问。
“你需要先证明正特徵域上任意布尔电路的多项式表示都可以被提升为一个特徵为零的概形上的平坦態射。然后用你已经在特徵为零的代数闭域上建立的那套零点集下界估计方法。最后再用跡映射把结果拉回到正特徵域上。”
格罗滕迪克说到这里停了一下，呼吸有些不稳。皮埃尔从旁边递过水杯，他喝了一口，缓了缓，然后继续说：“这个思路在六七十年代做韦伊猜想的时候德利涅用过类似的手法，但他当时处理的不是多项式理想，而是étale上同调。你的情况比他的简单，因为你不必考虑所有素理想上的分歧。”
赵阳靠在椅背上，脑子里那几块一直拼不上的拼图忽然严丝合缝地咬在了一起。有限域的推广障碍，最核心的就是消元定理的失效而格罗滕迪克的方案是从特徵为零的域上做一个提升，把问题拉到已知的领域里解决，再通过跡映射拉回来。
绕开了有限域上消元定理本身的不完备性。他之前不是没想过类似的思路，但一直没想到用跡映射来做拉回，因为他对正特徵域上的平坦態射没有足够的经验。这正是格罗滕迪克几十年来深耕的领域。
“您这个引理直接补上了我论文附录里最大的缺口。”
赵阳感嘆的说到。
“这就是我想跟你说的话。”
格罗滕迪克靠在枕头上，声音比刚才轻了些。
“你不需要从头做正特徵域上的平坦態射。我做过的东西你可以直接用。我活了这么久，留下的那些工具概形、平坦性、跡映射当时很多人说它们太抽象了，没有实际用途。现在你用它们去架构一个千禧年问题的结论，我会很高兴的。”
接下来几天，赵阳和格罗滕迪克又进行了四五次视频通话。每次通话持续的时间不算太长格罗滕迪克的体力只能支撑大概四十分钟到一个小时的高强度討论，但他的思路始终清晰得不像一个晚期病人。
他们討论的范围从有限域上的平坦態射逐步延伸到多项式理想的正规锥构造，从代数簇维数下界到消元定理失效的绕道策略。每一次討论的录音和视频都被皮埃尔认真保存下来。
这件事很快被法国媒体注意到了。格罗滕迪克隱居了几十年，几乎从公眾视野里彻底消失，他破例进行持续的视频通话这件事本身就足够引人注目。
一家法国科学杂誌的记者联繫了皮埃尔，问是否可以在徵得双方同意的情况下公开部分视频內容。皮埃尔先问了格罗滕迪克，老人说只要赵阳不反对就可以。
赵阳这边也没什么意见。毕竟只是纯粹的学术交流，不涉及任何敏感信息。
几段经过剪辑的视频和文字记录很快被放到了社交媒体和网络上。內容对普通大眾来说过於艰深，但在数学圈子里引起了不小的轰动。
“德利涅教授，欢迎来燕京。”
王文渊迎上去握住了他的手。
“王教授，赵博士。”德利涅跟两人分別握了手，然后看向赵阳。
“我老师这几天一直在等你。他把我当年跟他的通信都翻了出来，说里面有几段关於概形论在计算机科学中应用的討论，跟你论文的思路不谋而合。”
赵阳点了点头。他让王海把车开到航站楼门口，三人上了车，直接去燕大。路上德利涅把格罗滕迪克最近的身体情况简单说了一下肺癌，发现的时候已经扩散了，目前的治疗以控制疼痛为主，医生给出的时间窗口不会太长。
到了燕大，王文渊安排了一间安静的会议室。德利涅把隨身带的资料摊在桌上厚厚一沓草稿纸，上面是格罗滕迪克特有的那种倾斜的笔跡，有些地方画了交换图，有些地方用红笔圈了好几层。
赵阳翻了几页，看到其中一个关於有限域上多项式理想维数估计的引理推导，跟他自己在附录里提出的子问题几乎完全重合。
“老师在这条路上走了很多年。”
德利涅指著其中一处標註。
“他说你那个布尔函数到代数簇的映射构造，是他这辈子见过最漂亮的代数化方案。但他觉得你在处理正特徵域的时候可以借鑑他在六十年代做的几个关於概形平坦性的工作。那边的几个引理跟你现在遇到的障碍有关。”
赵阳翻到德利涅指的那一页，上面的交换图画得很复杂，但核心逻辑跟他在思考有限域推广问题时隱约触碰过的某个方向是相通的。
他之前一直觉得概形平坦性在处理逻辑门的多项式表示时过於繁琐，不愿意在这上面花太多篇幅。但格罗滕迪克的草稿清楚地告诉他，这不是繁琐，而是非常有必要的！
第二天上午，皮埃尔从巴黎拨通了视频电话。他提前在病房里布置了摄像机，让画面儘量稳定。
信號接通的那一刻，大屏幕上出现了格罗滕迪克的病房。他半躺在病床上，背后垫著几个枕头，头髮已经几乎全白了，但那双眼睛透过老花镜看过来的时候依然有一种深邃的智慧。
“格罗滕迪克教授。”
赵阳微微往前坐了一点。
“您对概形平坦性的理解，我看了您给德利涅教授的几个引理。您在处理正特徵域上多项式理想的消元问题时，是不是用到了余维数大於等於二的子簇上正规锥的构造？”
格罗滕迪克听到这个问题，嘴角动了一下。面上带著一丝微笑，把老花镜往鼻樑上推了推，身体稍微往上坐了一点。
“你对布尔函数代数化的处理，我已经拆解过了。你用希尔伯特零点定理来保证理想生成严格性，这对特徵为零的代数闭域完全成立。但想要推广到正特徵域上，你缺少一个关键的步骤。正特徵域上加法不是单射，多项式表示会退化。你需要在表示逻辑门之前，先对基底做一次概形的平坦化处理。”
赵阳迅速把格罗滕迪克说的几个要点在脑海里过了一遍。他想起自己在处理有限域推广时遇到的那个具体障碍代数闭域上的消元定理在特徵为正的有限域上不適用，当时他尝试了几种绕道方案都没走通。格罗滕迪克提到的概形平坦化处理，正好对应了那个障碍的核心。
“具体怎么平坦化？”赵阳问。
“你需要先证明正特徵域上任意布尔电路的多项式表示都可以被提升为一个特徵为零的概形上的平坦態射。然后用你已经在特徵为零的代数闭域上建立的那套零点集下界估计方法。最后再用跡映射把结果拉回到正特徵域上。”
格罗滕迪克说到这里停了一下，呼吸有些不稳。皮埃尔从旁边递过水杯，他喝了一口，缓了缓，然后继续说：“这个思路在六七十年代做韦伊猜想的时候德利涅用过类似的手法，但他当时处理的不是多项式理想，而是étale上同调。你的情况比他的简单，因为你不必考虑所有素理想上的分歧。”
赵阳靠在椅背上，脑子里那几块一直拼不上的拼图忽然严丝合缝地咬在了一起。有限域的推广障碍，最核心的就是消元定理的失效而格罗滕迪克的方案是从特徵为零的域上做一个提升，把问题拉到已知的领域里解决，再通过跡映射拉回来。
绕开了有限域上消元定理本身的不完备性。他之前不是没想过类似的思路，但一直没想到用跡映射来做拉回，因为他对正特徵域上的平坦態射没有足够的经验。这正是格罗滕迪克几十年来深耕的领域。
“您这个引理直接补上了我论文附录里最大的缺口。”
赵阳感嘆的说到。
“这就是我想跟你说的话。”
格罗滕迪克靠在枕头上，声音比刚才轻了些。
“你不需要从头做正特徵域上的平坦態射。我做过的东西你可以直接用。我活了这么久，留下的那些工具概形、平坦性、跡映射当时很多人说它们太抽象了，没有实际用途。现在你用它们去架构一个千禧年问题的结论，我会很高兴的。”
接下来几天，赵阳和格罗滕迪克又进行了四五次视频通话。每次通话持续的时间不算太长格罗滕迪克的体力只能支撑大概四十分钟到一个小时的高强度討论，但他的思路始终清晰得不像一个晚期病人。
他们討论的范围从有限域上的平坦態射逐步延伸到多项式理想的正规锥构造，从代数簇维数下界到消元定理失效的绕道策略。每一次討论的录音和视频都被皮埃尔认真保存下来。
这件事很快被法国媒体注意到了。格罗滕迪克隱居了几十年，几乎从公眾视野里彻底消失，他破例进行持续的视频通话这件事本身就足够引人注目。
一家法国科学杂誌的记者联繫了皮埃尔，问是否可以在徵得双方同意的情况下公开部分视频內容。皮埃尔先问了格罗滕迪克，老人说只要赵阳不反对就可以。
赵阳这边也没什么意见。毕竟只是纯粹的学术交流，不涉及任何敏感信息。
几段经过剪辑的视频和文字记录很快被放到了社交媒体和网络上。內容对普通大眾来说过於艰深，但在数学圈子里引起了不小的轰动。