第25章 这太笨重了
周三下午两点五十，数学研究院的报告厅已经坐满了人，熙熙攘攘的好不热闹。
肖宿跟著刘浩然走进来时，能明显感觉到许多目光落在他身上。
有好奇的，有探究的，也有几个研究生模样的学生在交头接耳。
肖宿听力很好，隱约还能听到他们“就是他”“十五岁”之类的低语。
刘浩然显然已经习惯了这种场面，他径直带著肖宿走到第三排靠走道的位置。
这是顾清尘特意嘱咐留的，既不会太靠前显得突兀，又能清楚看到黑板和投影。
“顾叔叔呢？”肖宿坐下后问。
“和其他教授一起在后台陪格林教授呢，一会儿就来了。”
刘浩然压低声音，“今天来了不少人，你看第一排，那几个头髮花白的都是院里的大佬。李长青教授、陈景明主任，还有从华清大学过来的王院士。”
肖宿顺著刘浩然指的方向看去。
第一排確实坐了好几位气质不凡的老教授，有的在看讲义，有的在小声交谈。
坐在正中间的一位老人尤其引人注目，他满头银髮，戴著一副金丝眼镜，正专注地看著手里的笔记，不时用笔在上面標註什么。
“那位就是王院士，”刘浩然继续介绍，“国內代数几何领域的泰斗，今年七十多了，还坚持每周参加討论班。听说他当年还在普林斯顿留学时，和格罗滕迪克还有过一面之缘呢。”
格罗滕迪克，那可是现代代数几何的奠基人之一，他的《代数几何基础》(ega)是无数数学工作者的圣经。
肖宿在顾清尘的书架上见过那套书的法文原版，厚厚几大本，书脊已经磨得发白。
这位被称为数学皇帝，每一个学习数学的人都不能绕开他。
不一会儿，顾清尘和一眾教授一起走来，在各自座位上落座。
三点整，报告厅的灯光稍微调暗，讲台上的投影仪亮起。
一位外国教授走上台，他看起来六十岁左右，身材瘦高，灰白的头髮梳得整齐，身穿著深灰色的西装，没有打领带，气质儒雅中还带著学者特有的疏离感。
“那就是罗伯特·格林教授。”
刘浩然在肖宿耳边说，“纽约大学科朗研究所的，在算术几何领域绝对是大牛。
他早年师从法国学派，后来在p进霍奇理论方面也做了很多开创性工作。”
一位教授走到讲台前，调试了一下麦克风。
“各位老师、同学，下午好。
今天我们很荣幸邀请到纽约大学的罗伯特·格林教授，为大家带来题为《高维代数曲线有理点分布的有效界估计》的讲座。
格林教授是国际算术几何领域的权威学者，在阿贝尔簇、模形式以及p进霍奇理论等方面都有重要贡献。
下面，让我们以热烈的掌声欢迎格林教授。”
掌声中，格林教授走到讲台中央。
他看上去年龄挺大的，但是声音清晰洪亮。
“谢谢京大的邀请。我很高兴能在这里与大家交流。”
他打开讲稿，投影幕布上出现了第一个標题：
introduction and motivation（引言与动机）。
“今天我想討论的问题，是关於如何估计高维代数曲线上有理点的数量。”
格林教授的声音平稳，语速適中，“这是一个经典的算术几何问题，但即使在今天，我们仍然在不断寻找更好的工具和方法。”
他开始从最基本的概念讲起，什么是代数曲线，什么是有理点，为什么研究它们的分布很重要。
肖宿听得很专注，虽然这些基础知识他早已熟悉，但格林教授的讲述方式很有特点。
他总能从最简单的例子出发，逐步引出深刻的问题。
“考虑一条椭圆曲线。”
格林教授在白板上画了一个光滑的曲线。
“我们熟知的莫德尔定理告诉我们，它的有理点构成一个有限生成阿贝尔群。
但当我们把维度升高——，比如考虑一个三次超曲面，或者更一般的完备交集，问题就变得复杂得多。”
投影幕布上出现了复杂的公式和图表。
格林教授开始介绍他的主要工作，一种基於高度函数和筛法的组合方法，来估计高维代数簇上有理点的数量上界。
“关键的想法是，把有理点的高度分布与簇的几何不变量联繫起来。”
格林教授用雷射笔指著幕布上的一个公式。
“通过引入一个精心设计的高度函数，我们可以把计数问题转化为对某个l函数的零点估计问题。”
报告厅里很安静，只有格林教授的讲解声和笔尖划过纸张的沙沙声。
肖宿注意到，第一排的王院士不时点头，偶尔还会在笔记本上快速记下什么。
李长青教授则微微蹙眉，似乎对某个细节有疑问。
讲座进行到一半时，格林教授开始討论技术核心部分。
这时他的语速明显加快，板书也变得密集起来。
投影幕布上满是复杂的交换图表和长串的不等式推导。
“这里我们需要用到p进霍奇理论的一个深刻结果，”
格林教授转过身，在黑板空白处写下一个定理的陈述，
“对於光滑射影簇，它的p进étale上同调群具有某种特殊的权重过滤结构。
这个结构允许我们把有理点的算术信息与簇的几何拓扑联繫起来。”
肖宿的眼睛亮了。
这正是他感兴趣的部分，p进霍奇理论，实现完美空间理论的核心工具之一。
格林教授继续讲解他的证明思路。
整体框架是经典的，先用高度函数筛选出“小高度”的有理点，然后通过筛法估计这些点的数量，最后用p进理论处理边界情况。
方法很扎实，但肖宿总觉得……有点笨重。
就像用一把大锤去敲一颗钉子，能敲进去，但不够精准优雅。
肖宿年纪虽小，但在数学上却有一种独有的倔强，甚至可以说是偏执。
一定要优雅，一定要严谨，一定要简洁。
这是他追求的。
讲座进入提问环节时，第一个举手的是李长青教授。
在讲座时提问，对主讲人是一种礼貌，作为东道主，京大的教授总要先表个態。
“格林教授，我想请教一个技术细节。”
李长青站起来，语气客气但直指要害。
“在您的主要定理证明中，引理3.7使用了p进霍奇理论的比较定理。
但那个定理的適用范围要求簇是光滑的。对於您考虑的高维完备交集，如果它有奇点，这个技术还能用吗？”
格林教授点点头。
“很好的问题。確实，经典比较定理要求光滑性。
对於有奇点的情况，我们需要先用奇点解消技术把簇吹起来，然后在吹胀后的光滑簇上应用定理，最后再追踪信息回到原簇。
这会引入一些额外的技术复杂性，但整体框架仍然有效。”
“我明白了，谢谢。”李长青坐下。
接著又有几个教授和学生提问，大多是关於技术细节或后续推广的。
格林教授一一作答，展现出一流学者对工作的熟练掌控。
就在主持人准备宣布讲座结束时，肖宿举起了手。
报告厅里出现了一阵轻微的骚动。
不少人都转过头看向第三排，一个看起来过分年轻的男孩，在一群教授和研究生中格外显眼。
格林教授也注意到了。
他推了推眼镜，露出感兴趣的表情：“请。”
肖宿站起来。
刘浩然在旁边紧张地看著他，生怕他问出什么太尖锐的问题。
顾清尘的心也不禁突了一下，这孩子不会又语出惊人吧。
“格林教授，我有一个关於方法改进的问题。”
肖宿的声音清晰平静，完全不像一个十五岁少年在顶尖学者面前的发言。
“您的方法基於经典的p进霍奇理论和高度筛法。我在想，如果引入更现代的完美空间(perfectoid spaces)理论，会不会得到更简洁、更本质的估计？”
报告厅瞬间安静了。
完美空间，这是彼得·舒尔茨在2011年开创的理论，彻底改变了p进几何的面貌。
但这套理论极其抽象艰深，即使在专业数学家中，能真正理解並应用的人其实也不多。
格林教授明显愣了一下。
他仔细打量了肖宿几秒，然后笑了。
“很敏锐的问题。事实上，我最近也在思考这个方向。完美空间理论確实为p进几何提供了更强大的框架，但把它应用到具体的算术估计问题中，需要克服很多技术障碍。”
他顿了顿，继续说。
“比如，在完美空间框架下，我们需要重新定义高度函数的概念，还要建立一套新的比较定理。
这些工作正在进行中，我和我的几个学生正在尝试把舒尔茨的一些思想应用到阿贝尔簇的有理点问题上。
但坦率地说，这条路还很漫长。”
肖宿点点头，没有立即坐下，而是继续问。
“那您觉得，完美空间理论的核心优势在哪里？它为什么能比经典方法提供更深刻的理解？”
这个问题问到了格林教授的研究兴趣点上。
他眼睛一亮，走到黑板前，擦掉一部分內容，开始画示意图。
“想像一个p进数域，在经典视角下，它像个分形树，有无穷多的分支。”
格林教授画了一棵向上分叉的树。
“完美空间的洞察在於，我们可以用一种『无穷接近』的方式，把p进域和特徵p的域联繫起来。
具体来说，通过取某种极限，一个p进完美体(p-adic perfectoid field)和一个特徵p的完美体(perfect field)会成为某种意义上的『孪生兄弟』。”
他在黑板上写下两个数学符號，用双箭头连接。
“这种联繫的美妙之处在於，它允许我们把p进世界的问题，转化为特徵p世界的问题，后者的代数结构往往更简单。然后再把结果『提升』回p进世界。”
格林教授越讲越投入，完全进入了授课状態。
“这就是完美空间理论的威力之所在了，它建立了一座桥樑，连接了两个看似截然不同的数学宇宙。”
肖宿认真听著，脑海中那些之前零散的想法开始自动拼接。
完美空间、p进几何、有理点估计……
这些概念像拼图一样，正在形成一幅完整的画面。
“谢谢您的解释。”肖宿终於坐下。
格林教授看著他，忽然问：
“这位同学，你叫什么名字？我看你好像对完美空间理论很熟悉。”
“肖宿。”
顾清尘在台下替他回答，语气里带著难以掩饰的骄傲。
“我们数学系的特招生，今年十五岁。”
报告厅里响起一阵低低的惊嘆声。
格林教授眼睛睁大了些：
“十五岁？你在看舒尔茨的论文？”
“在看。”肖宿简单回答。
“了不起。”
格林教授由衷地说，“那套理论我花了三年才勉强入门。如果你有兴趣，讲座结束后我们可以多聊聊，我对你刚才提的那个问题很感兴趣。”
讲座在一种微妙的氛围中结束。
学生们开始陆续退场，但不少教授和研究生留了下来，围著格林教授继续討论。
肖宿原本打算直接离开，但刘浩然拉住了他。
“顾老师让你等一下，一会儿要跟格林教授打个招呼。”
果然，几分钟后，顾清尘带著格林教授走了过来。
“格林教授，这就是肖宿。”
顾清尘介绍道，“我目前指导的学生。”
格林教授和肖宿握了握手，握得很用力。
“肖，你刚才的问题很有见地。你是在哪里学到完美空间理论的？”
“自学。看了舒尔茨的论文和一些综述。”肖宿如实回答。
“自学？”
格林教授更惊讶了，“那几篇奠基论文可不好读。很多教授都啃不下来。”
顾清尘在旁边微笑：
“肖宿在数学上有些特別的天赋。他最近和我的另一个学生合作了一篇论文，用了类似的思想，用加权度量处理奇点问题，投给了《数学发明》。”
“《数学发明》？”
格林教授眼睛一亮，“关於什么的？”
“高维代数簇的算术几何，用了一些p进几何的工具。”
顾清尘说得比较保守，但格林教授立刻明白了其中的分量。
“那我们可以好好聊聊了。”
格林教授转向肖宿，“我明天下午的飞机回纽约，上午有时间。如果你愿意，我们可以找个时间討论一下数学。关於完美空间理论在有理点问题上的应用，我最近有些想法，可能你会感兴趣。”
肖宿看向顾清尘，后者点点头。
“好的，谢谢教授。”肖宿答应了。
又聊了几句后，格林教授被其他教授拉去继续討论。
顾清尘拍拍肖宿的肩膀：
“表现不错。格林教授是很挑剔的人，他能主动邀请你私下討论，说明他真的认可你的水平。”
刘浩然在旁边小声说：
“何止是认可……我看格林教授眼睛都放光了，像是发现了宝贝。”
顾清尘笑了：
“行了，你去忙吧。”
他看看表，“我还有个会议，你先回宿舍休息一下吧。明天上午十点，到我院里的办公室。”
“好。”
肖宿跟著刘浩然走进来时，能明显感觉到许多目光落在他身上。
有好奇的，有探究的，也有几个研究生模样的学生在交头接耳。
肖宿听力很好，隱约还能听到他们“就是他”“十五岁”之类的低语。
刘浩然显然已经习惯了这种场面，他径直带著肖宿走到第三排靠走道的位置。
这是顾清尘特意嘱咐留的，既不会太靠前显得突兀，又能清楚看到黑板和投影。
“顾叔叔呢？”肖宿坐下后问。
“和其他教授一起在后台陪格林教授呢，一会儿就来了。”
刘浩然压低声音，“今天来了不少人，你看第一排，那几个头髮花白的都是院里的大佬。李长青教授、陈景明主任，还有从华清大学过来的王院士。”
肖宿顺著刘浩然指的方向看去。
第一排確实坐了好几位气质不凡的老教授，有的在看讲义，有的在小声交谈。
坐在正中间的一位老人尤其引人注目，他满头银髮，戴著一副金丝眼镜，正专注地看著手里的笔记，不时用笔在上面標註什么。
“那位就是王院士，”刘浩然继续介绍，“国內代数几何领域的泰斗，今年七十多了，还坚持每周参加討论班。听说他当年还在普林斯顿留学时，和格罗滕迪克还有过一面之缘呢。”
格罗滕迪克，那可是现代代数几何的奠基人之一，他的《代数几何基础》(ega)是无数数学工作者的圣经。
肖宿在顾清尘的书架上见过那套书的法文原版，厚厚几大本，书脊已经磨得发白。
这位被称为数学皇帝，每一个学习数学的人都不能绕开他。
不一会儿，顾清尘和一眾教授一起走来，在各自座位上落座。
三点整，报告厅的灯光稍微调暗，讲台上的投影仪亮起。
一位外国教授走上台，他看起来六十岁左右，身材瘦高，灰白的头髮梳得整齐，身穿著深灰色的西装，没有打领带，气质儒雅中还带著学者特有的疏离感。
“那就是罗伯特·格林教授。”
刘浩然在肖宿耳边说，“纽约大学科朗研究所的，在算术几何领域绝对是大牛。
他早年师从法国学派，后来在p进霍奇理论方面也做了很多开创性工作。”
一位教授走到讲台前，调试了一下麦克风。
“各位老师、同学，下午好。
今天我们很荣幸邀请到纽约大学的罗伯特·格林教授，为大家带来题为《高维代数曲线有理点分布的有效界估计》的讲座。
格林教授是国际算术几何领域的权威学者，在阿贝尔簇、模形式以及p进霍奇理论等方面都有重要贡献。
下面，让我们以热烈的掌声欢迎格林教授。”
掌声中，格林教授走到讲台中央。
他看上去年龄挺大的，但是声音清晰洪亮。
“谢谢京大的邀请。我很高兴能在这里与大家交流。”
他打开讲稿，投影幕布上出现了第一个標题：
introduction and motivation（引言与动机）。
“今天我想討论的问题，是关於如何估计高维代数曲线上有理点的数量。”
格林教授的声音平稳，语速適中，“这是一个经典的算术几何问题，但即使在今天，我们仍然在不断寻找更好的工具和方法。”
他开始从最基本的概念讲起，什么是代数曲线，什么是有理点，为什么研究它们的分布很重要。
肖宿听得很专注，虽然这些基础知识他早已熟悉，但格林教授的讲述方式很有特点。
他总能从最简单的例子出发，逐步引出深刻的问题。
“考虑一条椭圆曲线。”
格林教授在白板上画了一个光滑的曲线。
“我们熟知的莫德尔定理告诉我们，它的有理点构成一个有限生成阿贝尔群。
但当我们把维度升高——，比如考虑一个三次超曲面，或者更一般的完备交集，问题就变得复杂得多。”
投影幕布上出现了复杂的公式和图表。
格林教授开始介绍他的主要工作，一种基於高度函数和筛法的组合方法，来估计高维代数簇上有理点的数量上界。
“关键的想法是，把有理点的高度分布与簇的几何不变量联繫起来。”
格林教授用雷射笔指著幕布上的一个公式。
“通过引入一个精心设计的高度函数，我们可以把计数问题转化为对某个l函数的零点估计问题。”
报告厅里很安静，只有格林教授的讲解声和笔尖划过纸张的沙沙声。
肖宿注意到，第一排的王院士不时点头，偶尔还会在笔记本上快速记下什么。
李长青教授则微微蹙眉，似乎对某个细节有疑问。
讲座进行到一半时，格林教授开始討论技术核心部分。
这时他的语速明显加快，板书也变得密集起来。
投影幕布上满是复杂的交换图表和长串的不等式推导。
“这里我们需要用到p进霍奇理论的一个深刻结果，”
格林教授转过身，在黑板空白处写下一个定理的陈述，
“对於光滑射影簇，它的p进étale上同调群具有某种特殊的权重过滤结构。
这个结构允许我们把有理点的算术信息与簇的几何拓扑联繫起来。”
肖宿的眼睛亮了。
这正是他感兴趣的部分，p进霍奇理论，实现完美空间理论的核心工具之一。
格林教授继续讲解他的证明思路。
整体框架是经典的，先用高度函数筛选出“小高度”的有理点，然后通过筛法估计这些点的数量，最后用p进理论处理边界情况。
方法很扎实，但肖宿总觉得……有点笨重。
就像用一把大锤去敲一颗钉子，能敲进去，但不够精准优雅。
肖宿年纪虽小，但在数学上却有一种独有的倔强，甚至可以说是偏执。
一定要优雅，一定要严谨，一定要简洁。
这是他追求的。
讲座进入提问环节时，第一个举手的是李长青教授。
在讲座时提问，对主讲人是一种礼貌，作为东道主，京大的教授总要先表个態。
“格林教授，我想请教一个技术细节。”
李长青站起来，语气客气但直指要害。
“在您的主要定理证明中，引理3.7使用了p进霍奇理论的比较定理。
但那个定理的適用范围要求簇是光滑的。对於您考虑的高维完备交集，如果它有奇点，这个技术还能用吗？”
格林教授点点头。
“很好的问题。確实，经典比较定理要求光滑性。
对於有奇点的情况，我们需要先用奇点解消技术把簇吹起来，然后在吹胀后的光滑簇上应用定理，最后再追踪信息回到原簇。
这会引入一些额外的技术复杂性，但整体框架仍然有效。”
“我明白了，谢谢。”李长青坐下。
接著又有几个教授和学生提问，大多是关於技术细节或后续推广的。
格林教授一一作答，展现出一流学者对工作的熟练掌控。
就在主持人准备宣布讲座结束时，肖宿举起了手。
报告厅里出现了一阵轻微的骚动。
不少人都转过头看向第三排，一个看起来过分年轻的男孩，在一群教授和研究生中格外显眼。
格林教授也注意到了。
他推了推眼镜，露出感兴趣的表情：“请。”
肖宿站起来。
刘浩然在旁边紧张地看著他，生怕他问出什么太尖锐的问题。
顾清尘的心也不禁突了一下，这孩子不会又语出惊人吧。
“格林教授，我有一个关於方法改进的问题。”
肖宿的声音清晰平静，完全不像一个十五岁少年在顶尖学者面前的发言。
“您的方法基於经典的p进霍奇理论和高度筛法。我在想，如果引入更现代的完美空间(perfectoid spaces)理论，会不会得到更简洁、更本质的估计？”
报告厅瞬间安静了。
完美空间，这是彼得·舒尔茨在2011年开创的理论，彻底改变了p进几何的面貌。
但这套理论极其抽象艰深，即使在专业数学家中，能真正理解並应用的人其实也不多。
格林教授明显愣了一下。
他仔细打量了肖宿几秒，然后笑了。
“很敏锐的问题。事实上，我最近也在思考这个方向。完美空间理论確实为p进几何提供了更强大的框架，但把它应用到具体的算术估计问题中，需要克服很多技术障碍。”
他顿了顿，继续说。
“比如，在完美空间框架下，我们需要重新定义高度函数的概念，还要建立一套新的比较定理。
这些工作正在进行中，我和我的几个学生正在尝试把舒尔茨的一些思想应用到阿贝尔簇的有理点问题上。
但坦率地说，这条路还很漫长。”
肖宿点点头，没有立即坐下，而是继续问。
“那您觉得，完美空间理论的核心优势在哪里？它为什么能比经典方法提供更深刻的理解？”
这个问题问到了格林教授的研究兴趣点上。
他眼睛一亮，走到黑板前，擦掉一部分內容，开始画示意图。
“想像一个p进数域，在经典视角下，它像个分形树，有无穷多的分支。”
格林教授画了一棵向上分叉的树。
“完美空间的洞察在於，我们可以用一种『无穷接近』的方式，把p进域和特徵p的域联繫起来。
具体来说，通过取某种极限，一个p进完美体(p-adic perfectoid field)和一个特徵p的完美体(perfect field)会成为某种意义上的『孪生兄弟』。”
他在黑板上写下两个数学符號，用双箭头连接。
“这种联繫的美妙之处在於，它允许我们把p进世界的问题，转化为特徵p世界的问题，后者的代数结构往往更简单。然后再把结果『提升』回p进世界。”
格林教授越讲越投入，完全进入了授课状態。
“这就是完美空间理论的威力之所在了，它建立了一座桥樑，连接了两个看似截然不同的数学宇宙。”
肖宿认真听著，脑海中那些之前零散的想法开始自动拼接。
完美空间、p进几何、有理点估计……
这些概念像拼图一样，正在形成一幅完整的画面。
“谢谢您的解释。”肖宿终於坐下。
格林教授看著他，忽然问：
“这位同学，你叫什么名字？我看你好像对完美空间理论很熟悉。”
“肖宿。”
顾清尘在台下替他回答，语气里带著难以掩饰的骄傲。
“我们数学系的特招生，今年十五岁。”
报告厅里响起一阵低低的惊嘆声。
格林教授眼睛睁大了些：
“十五岁？你在看舒尔茨的论文？”
“在看。”肖宿简单回答。
“了不起。”
格林教授由衷地说，“那套理论我花了三年才勉强入门。如果你有兴趣，讲座结束后我们可以多聊聊，我对你刚才提的那个问题很感兴趣。”
讲座在一种微妙的氛围中结束。
学生们开始陆续退场，但不少教授和研究生留了下来，围著格林教授继续討论。
肖宿原本打算直接离开，但刘浩然拉住了他。
“顾老师让你等一下，一会儿要跟格林教授打个招呼。”
果然，几分钟后，顾清尘带著格林教授走了过来。
“格林教授，这就是肖宿。”
顾清尘介绍道，“我目前指导的学生。”
格林教授和肖宿握了握手，握得很用力。
“肖，你刚才的问题很有见地。你是在哪里学到完美空间理论的？”
“自学。看了舒尔茨的论文和一些综述。”肖宿如实回答。
“自学？”
格林教授更惊讶了，“那几篇奠基论文可不好读。很多教授都啃不下来。”
顾清尘在旁边微笑：
“肖宿在数学上有些特別的天赋。他最近和我的另一个学生合作了一篇论文，用了类似的思想，用加权度量处理奇点问题，投给了《数学发明》。”
“《数学发明》？”
格林教授眼睛一亮，“关於什么的？”
“高维代数簇的算术几何，用了一些p进几何的工具。”
顾清尘说得比较保守，但格林教授立刻明白了其中的分量。
“那我们可以好好聊聊了。”
格林教授转向肖宿，“我明天下午的飞机回纽约，上午有时间。如果你愿意，我们可以找个时间討论一下数学。关於完美空间理论在有理点问题上的应用，我最近有些想法，可能你会感兴趣。”
肖宿看向顾清尘，后者点点头。
“好的，谢谢教授。”肖宿答应了。
又聊了几句后，格林教授被其他教授拉去继续討论。
顾清尘拍拍肖宿的肩膀：
“表现不错。格林教授是很挑剔的人，他能主动邀请你私下討论，说明他真的认可你的水平。”
刘浩然在旁边小声说：
“何止是认可……我看格林教授眼睛都放光了，像是发现了宝贝。”
顾清尘笑了：
“行了，你去忙吧。”
他看看表，“我还有个会议，你先回宿舍休息一下吧。明天上午十点，到我院里的办公室。”
“好。”