第23章 无法传授的直觉
看著刘浩然匆匆离去的背影，肖宿重新把注意力放回了《量子场论路径积分》。
但看了几页之后，他忽然想起什么，打开瀏览器，搜索“罗伯特·格林 论文”。
很快，纽约大学数学系的教授页面弹了出来，上面列出了格林教授近年来的主要工作。
肖宿快速瀏览著那些標题和摘要，手指在触摸板上滑动。
《高维代数簇上有理点分布的有效界》
《模曲线与阿贝尔簇的算术性质》
《p进霍奇理论与应用》……
肖宿的目光在最后一个標题上停留了片刻。
p进霍奇理论，这不正是彼得·舒尔茨那套“perfectoid spaces”理论涉及的方向吗？
他记得之前看过舒尔茨2011年的那篇奠基性论文《p-adic hodge theory for rigid-analytic spaces and perfectoid spaces》。
那篇文章他花了差不多一周才完全消化，里面的思想极其深刻，用p进几何的工具重构了古典的霍奇理论。
如果格林教授的研究也涉及这个方向，那讲座可能会很有趣。
肖宿点开格林教授最近的一篇预印本，开始快速阅读。
他的阅读速度极快。
大概二十分钟之后，肖宿已经对格林教授的工作风格和主要技术手段有了大致把握。
很扎实的算术几何研究，偏重经典方法，但也能看到一些现代p进几何思想的影子。
就在这时，手机又震动了一下。
这次是陈林发来的消息。
“肖哥！！！救命啊！！！”
后面跟了一串崩溃的表情。
肖宿回覆：“？”
陈林秒回：“数学分析期中捲髮下来了，我最后那道题证明写崩了，扣了15分！老周说那道题用的技巧跟你上周跟我讲的一个引理很像，但我当时没完全听懂……你现在有空吗？求指点！”
肖宿看了看时间，下午四点十分。
他回覆：“图书馆东区四楼，过来吧。”
五分钟后，陈林抱著一沓草稿纸和试卷，哭丧著脸出现在肖宿对面。
“肖哥，你看这题。”
他把试卷推过来，指著最后一道压轴题。
“证明：若f在[0,1]上连续，在(0,1)內可导，且f(0)=f(1)=0，则存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=f(ξ)。”
肖宿扫了一眼题目，点点头。
“嗯，用你之前问我的那个『微分中值定理的推广形式』。”
“对啊！你当时说构造辅助函数f(x)=e^{-x}f(x)，然后用罗尔定理。但我考试时脑子一抽，构造了个f(x)=f(x)e^{x}，然后就全错了……”
陈林欲哭无泪。
肖宿拿过草稿纸，写下一个简洁的证明过程。
“设f(x)=e^{-x}f(x)。则f在[0,1]上连续，在(0,1)內可导，且f(0)=f(0)=0，f(1)=e^{-1}f(1)=0。由罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使f(ξ)=0。”
“而f(x)=e^{-x}f(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}[f(x)-f(x)]。故f(ξ)=e^{-ξ}[f(ξ)-f(ξ)]=0。由於e^{-ξ}≠0，故f(ξ)-f(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ)。证毕。”
陈林盯著那几行字，表情从困惑到恍然再到懊恼。
“就这么简单？！我考试时怎么就没想到用e^{-x}呢……”
“因为你被形式迷惑了。”
肖宿平静地说。
“这道题的本质是要构造一个函数，让它的导数能產生f(x)-f(x)的结构。e^{-x}的导数是-e^{-x}，所以乘上去后，乘积的导数会出现f(x)-f(x)项。这是標准技巧。”
陈林挠著头：“道理我都懂，可考试时就是反应不过来。肖哥，你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”
肖宿沉默了几秒，似乎在思考如何回答。
最后他说：“多想想『为什么』，少记『怎么做』。
每个技巧背后都有它的几何或代数原因。
比如这个e^{-x}，它是指数函数，是指数函数导数的自相似性导致了这种构造可行。
想明白这一点，下次遇到类似问题自然就能想到。”
陈林似懂非懂地点点头，把肖宿写的证明过程仔细抄在笔记本上。
抄完后，他忽然压低声音，神秘兮兮地问：“肖哥，我听说……你那篇投jams的论文，有消息了？”
肖宿摇摇头：“还没。审稿周期通常很长。”
“哦……”陈林有点失望，但马上又兴奋起来，“那《数学发明》那篇呢？我听说刘师兄最近走路都带风，是不是快发了？”
“在修改，顺利的话下个月。”
“牛！”
陈林竖起大拇指，隨即又嘆了口气，“同样是学数学的，差距怎么就这么大呢……我现在还在为数学分析的期中考试挣扎，你已经两篇顶刊在望了。我有时候都怀疑，咱们是不是同一个物种。”
肖宿没接这话。
他不太擅长应对这种带著羡慕或崇拜的情绪，那会让他感到不自在。
陈林也意识到了，赶紧转移话题。
“对了，下周咱们系有个新生交流会，你要不要去？就是大家聚在一起聊聊，认识认识。老周让我务必把你拉去，说你是咱们这届的『门面』。”
肖宿想拒绝，他对这种社交活动没什么兴趣。
但话到嘴边，又想起顾清尘说的“多和同龄人接触”，於是改了口：“什么时候？”
“周三晚上，在明德楼活动室。不过……”
陈林想起什么，“周三下午是不是有个什么讲座？纽约大学来的教授？”
“嗯，格林教授的讲座，在三点。”
“那时间正好错开！讲座结束差不多五点，吃个饭，七点交流会开始。”
陈林眼睛一亮，“就这么定了！你一定要来啊，不然老周又要念叨我办事不力。”
“……好。”肖宿答应了。
一次讲座加一个交流会，应该不会占用太多时间。
陈林心满意足地抱著笔记本走了。
肖宿重新拿起《量子场论路径积分》，但看了几页后，思绪却飘到了別处。
他想起了格林教授那篇预印本中的一个细节，在討论高维代数曲线有理点分布时，格林用了一个基於经典模形式理论的估计方法，虽然有效，但肖宿总觉得有点“笨重”。
如果引入perfectoid spaces的思想呢？
用p进几何的工具重新审视那些有理点的分布，会不会得到更精细、更本质的结果？
这个念头一旦產生，就像种子落进肥沃的土壤，开始迅速的生根发芽。
肖宿隨手抓过一张草稿纸，开始写写画画起来。
“设x是定义在数域k上的高维代数曲线，考虑其在完备化空间中的几何结构……”
他写得很快，仿佛一下子打通了任督二脉，思路如泉涌。
那些在阅读舒尔茨论文时形成的几何直觉，此刻与格林教授研究的问题碰撞在一起，迸发出了耀眼的火花。
不知不觉间，时间悄悄溜走，窗外天色渐暗。
图书馆的灯自动亮起，在书页上投下温暖的光晕。
肖宿浑然不觉，完全沉浸在自己构建的数学世界中。
直到手机震动，是顾清尘打来的。
“肖宿，还在图书馆吗？该吃晚饭了。”
肖宿看了眼时间，惊讶地发现已经六点半了。
他居然坐了两个多小时，完全没感觉到时间流逝。
“嗯，马上回去。”
“直接来教职工食堂吧，我在这儿等你。顺便聊聊你最近看的书。”
掛断电话，肖宿收拾好东西，把那张写满公式和构想的草稿纸仔细叠好，放进书包最里层。
走出图书馆时，京大的校园已笼罩在暮色中。
路灯依次亮起，未名湖对岸的教学楼灯火通明，倒映在湖面上，隨著湖中的涟漪碎成了一片摇曳的光斑。
肖宿走在石板路上，脚步轻快。
他忽然想起陈林那个问题，“你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”
其实肖宿自己也不太清楚。
对他来说，数学从来不是需要“练习”的技能，而是他感知世界的一种本能。
就像鸟会飞、鱼会游，他天生就懂得如何从纷繁的表象中剥离出本质的结构。
这个世界，无论是物理的、几何的、代数的，在他眼中都是一座巨大而精妙的建筑。
其他人还在为外墙的装饰嘖嘖称奇时，他已经看穿了承重墙的位置、樑柱的布局、结构的力学原理。
也许这就是所谓的“天赋”吧。
一种他无法解释、也无法传授的直觉。
但看了几页之后，他忽然想起什么，打开瀏览器，搜索“罗伯特·格林 论文”。
很快，纽约大学数学系的教授页面弹了出来，上面列出了格林教授近年来的主要工作。
肖宿快速瀏览著那些標题和摘要，手指在触摸板上滑动。
《高维代数簇上有理点分布的有效界》
《模曲线与阿贝尔簇的算术性质》
《p进霍奇理论与应用》……
肖宿的目光在最后一个標题上停留了片刻。
p进霍奇理论，这不正是彼得·舒尔茨那套“perfectoid spaces”理论涉及的方向吗？
他记得之前看过舒尔茨2011年的那篇奠基性论文《p-adic hodge theory for rigid-analytic spaces and perfectoid spaces》。
那篇文章他花了差不多一周才完全消化，里面的思想极其深刻，用p进几何的工具重构了古典的霍奇理论。
如果格林教授的研究也涉及这个方向，那讲座可能会很有趣。
肖宿点开格林教授最近的一篇预印本，开始快速阅读。
他的阅读速度极快。
大概二十分钟之后，肖宿已经对格林教授的工作风格和主要技术手段有了大致把握。
很扎实的算术几何研究，偏重经典方法，但也能看到一些现代p进几何思想的影子。
就在这时，手机又震动了一下。
这次是陈林发来的消息。
“肖哥！！！救命啊！！！”
后面跟了一串崩溃的表情。
肖宿回覆：“？”
陈林秒回：“数学分析期中捲髮下来了，我最后那道题证明写崩了，扣了15分！老周说那道题用的技巧跟你上周跟我讲的一个引理很像，但我当时没完全听懂……你现在有空吗？求指点！”
肖宿看了看时间，下午四点十分。
他回覆：“图书馆东区四楼，过来吧。”
五分钟后，陈林抱著一沓草稿纸和试卷，哭丧著脸出现在肖宿对面。
“肖哥，你看这题。”
他把试卷推过来，指著最后一道压轴题。
“证明：若f在[0,1]上连续，在(0,1)內可导，且f(0)=f(1)=0，则存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=f(ξ)。”
肖宿扫了一眼题目，点点头。
“嗯，用你之前问我的那个『微分中值定理的推广形式』。”
“对啊！你当时说构造辅助函数f(x)=e^{-x}f(x)，然后用罗尔定理。但我考试时脑子一抽，构造了个f(x)=f(x)e^{x}，然后就全错了……”
陈林欲哭无泪。
肖宿拿过草稿纸，写下一个简洁的证明过程。
“设f(x)=e^{-x}f(x)。则f在[0,1]上连续，在(0,1)內可导，且f(0)=f(0)=0，f(1)=e^{-1}f(1)=0。由罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使f(ξ)=0。”
“而f(x)=e^{-x}f(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}[f(x)-f(x)]。故f(ξ)=e^{-ξ}[f(ξ)-f(ξ)]=0。由於e^{-ξ}≠0，故f(ξ)-f(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ)。证毕。”
陈林盯著那几行字，表情从困惑到恍然再到懊恼。
“就这么简单？！我考试时怎么就没想到用e^{-x}呢……”
“因为你被形式迷惑了。”
肖宿平静地说。
“这道题的本质是要构造一个函数，让它的导数能產生f(x)-f(x)的结构。e^{-x}的导数是-e^{-x}，所以乘上去后，乘积的导数会出现f(x)-f(x)项。这是標准技巧。”
陈林挠著头：“道理我都懂，可考试时就是反应不过来。肖哥，你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”
肖宿沉默了几秒，似乎在思考如何回答。
最后他说：“多想想『为什么』，少记『怎么做』。
每个技巧背后都有它的几何或代数原因。
比如这个e^{-x}，它是指数函数，是指数函数导数的自相似性导致了这种构造可行。
想明白这一点，下次遇到类似问题自然就能想到。”
陈林似懂非懂地点点头，把肖宿写的证明过程仔细抄在笔记本上。
抄完后，他忽然压低声音，神秘兮兮地问：“肖哥，我听说……你那篇投jams的论文，有消息了？”
肖宿摇摇头：“还没。审稿周期通常很长。”
“哦……”陈林有点失望，但马上又兴奋起来，“那《数学发明》那篇呢？我听说刘师兄最近走路都带风，是不是快发了？”
“在修改，顺利的话下个月。”
“牛！”
陈林竖起大拇指，隨即又嘆了口气，“同样是学数学的，差距怎么就这么大呢……我现在还在为数学分析的期中考试挣扎，你已经两篇顶刊在望了。我有时候都怀疑，咱们是不是同一个物种。”
肖宿没接这话。
他不太擅长应对这种带著羡慕或崇拜的情绪，那会让他感到不自在。
陈林也意识到了，赶紧转移话题。
“对了，下周咱们系有个新生交流会，你要不要去？就是大家聚在一起聊聊，认识认识。老周让我务必把你拉去，说你是咱们这届的『门面』。”
肖宿想拒绝，他对这种社交活动没什么兴趣。
但话到嘴边，又想起顾清尘说的“多和同龄人接触”，於是改了口：“什么时候？”
“周三晚上，在明德楼活动室。不过……”
陈林想起什么，“周三下午是不是有个什么讲座？纽约大学来的教授？”
“嗯，格林教授的讲座，在三点。”
“那时间正好错开！讲座结束差不多五点，吃个饭，七点交流会开始。”
陈林眼睛一亮，“就这么定了！你一定要来啊，不然老周又要念叨我办事不力。”
“……好。”肖宿答应了。
一次讲座加一个交流会，应该不会占用太多时间。
陈林心满意足地抱著笔记本走了。
肖宿重新拿起《量子场论路径积分》，但看了几页后，思绪却飘到了別处。
他想起了格林教授那篇预印本中的一个细节，在討论高维代数曲线有理点分布时，格林用了一个基於经典模形式理论的估计方法，虽然有效，但肖宿总觉得有点“笨重”。
如果引入perfectoid spaces的思想呢？
用p进几何的工具重新审视那些有理点的分布，会不会得到更精细、更本质的结果？
这个念头一旦產生，就像种子落进肥沃的土壤，开始迅速的生根发芽。
肖宿隨手抓过一张草稿纸，开始写写画画起来。
“设x是定义在数域k上的高维代数曲线，考虑其在完备化空间中的几何结构……”
他写得很快，仿佛一下子打通了任督二脉，思路如泉涌。
那些在阅读舒尔茨论文时形成的几何直觉，此刻与格林教授研究的问题碰撞在一起，迸发出了耀眼的火花。
不知不觉间，时间悄悄溜走，窗外天色渐暗。
图书馆的灯自动亮起，在书页上投下温暖的光晕。
肖宿浑然不觉，完全沉浸在自己构建的数学世界中。
直到手机震动，是顾清尘打来的。
“肖宿，还在图书馆吗？该吃晚饭了。”
肖宿看了眼时间，惊讶地发现已经六点半了。
他居然坐了两个多小时，完全没感觉到时间流逝。
“嗯，马上回去。”
“直接来教职工食堂吧，我在这儿等你。顺便聊聊你最近看的书。”
掛断电话，肖宿收拾好东西，把那张写满公式和构想的草稿纸仔细叠好，放进书包最里层。
走出图书馆时，京大的校园已笼罩在暮色中。
路灯依次亮起，未名湖对岸的教学楼灯火通明，倒映在湖面上，隨著湖中的涟漪碎成了一片摇曳的光斑。
肖宿走在石板路上，脚步轻快。
他忽然想起陈林那个问题，“你这种一眼看穿问题本质的能力到底是怎么练出来的？”
其实肖宿自己也不太清楚。
对他来说，数学从来不是需要“练习”的技能，而是他感知世界的一种本能。
就像鸟会飞、鱼会游，他天生就懂得如何从纷繁的表象中剥离出本质的结构。
这个世界，无论是物理的、几何的、代数的，在他眼中都是一座巨大而精妙的建筑。
其他人还在为外墙的装饰嘖嘖称奇时，他已经看穿了承重墙的位置、樑柱的布局、结构的力学原理。
也许这就是所谓的“天赋”吧。
一种他无法解释、也无法传授的直觉。